Questo lavoro è stato pubblicato nella rivista internazionale di matematica:
ed è consultabile (nella sua versione in inglese) su: IJPAM
- I numeri complessi sono stati introdotti da un italiano: Raffaele Bombelli nel 1571, come si evince dal seguente testo:
Sembra essere abbastanza equo descrivere Bombelli come l'inventore dei numeri complessi. Nessuno prima di lui aveva dato disposizioni per lavorare con questi numeri, né ha suggerito che lavorare con tali numeri potesse rivelarsi utile.
preso a giugno 2011 dal sito internet: learn-math.info - Si dovette aspettare il 1831 affinché tali numeri fossero accettati, e ciò grazie a Gauss che ne diede una interpretazione geometrica nello spazio a due dimensioni, come si evince dal seguente testo:
L'esistenza dei numeri complessi non è stata accettata completamente fino a che non è stata scoperta la loro interpretazione geometrica (vedi oltre) da Caspar Wessel nel 1799, e poi riscoperta e resa famosa parecchi anni dopo da Carl Friedrich Gauss. Con Gauss la teoria dei numeri complessi ha avuto un'espansione notevole.
preso a giugno 2011 dal sito internet: wikipedia - Cercarono senza successo di estendere i numeri nello spazio tridimensionale Gauss, Eulero, Hamilton come si evince dal seguente testo:
Molta carne al fuoco nella sua vita quotidiana, insomma, eppure Hamilton sembra essere quasi esclusivamente preso dall’attenzione ossessiva che gli richiedono le “terne ordinate”. Ha cominciato a costruirne l’algebra, ha rapidamente definito le regole per l’addizione e la sottrazione, ma è la moltiplicazione che si rifiuta di farsi capire. Non fosse un po’ tragico, vista la situazione al contorno in cui i suoi figli, ancora piccoli, stavano crescendo, sarebbe quasi comicamente divertente scoprire che perfino i bambini erano profondamente compresi dalla preoccupazione paterna, visto che ogni mattina, a colazione, gli rivolgevano la canonica domanda: “Papà, ce l’hai fatta a moltiplicare le terne?”.
William sembrava proprio non riuscirci: a sua giustificazione va detto che in un’impresa del genere si erano cimentati senza successo anche Eulero e Gauss, e questo dovrebbe rendere l’idea della difficoltà della cosa.
preso a giugno 2011 dal sito internet: rudi matematici - Benché Hamilton non riuscì a introdurre i numeri nello spazio a tre dimensioni, riusci a sviluppare i numeri nello spazio a quattro dimensioni, introducendo i quaternioni, come si evince dal seguente testo:
I quaternioni furono scoperti dal matematico irlandese William Rowan Hamilton nel 1843. Hamilton era alla ricerca di un metodo per estendere i numeri complessi (che possono essere visti come punti su un piano) su un numero maggiore di dimensioni spaziali. Dopo aver ricercato invano un'estensione tridimensionale, ne formulò una con 4 dimensioni: i quaternioni.
preso a giugno 2011 dal sito internet: wikipedia - Infine si riuscì a introdurre estensioni dei complessi in dimensioni sempre doppie delle precedenti: 2,4,8,16 …. attraverso la costruzione Cayley-Dickson priva di un numero sempre maggiore di proprietà matematiche, come si evince dal seguente testo:
In matematica, la costruzione di Cayley-Dickson produce una sequenza di algebre sopra il campo dei numeri reali, ognuna delle quali ha dimensione doppia della precedente. Le algebre prodotte da questo processo sono note come algebre di Cayley-Dickson; poiché estendono i numeri complessi, vengono definiti numeri ipercomplessi.
Le algebre di Cayley-Dickson sono tutte dotate di norma e di un'operazione di coniugazione. In tutte le algebre il prodotto di un elemento e del suo coniugato è pari al quadrato della sua norma.
I primi 3 passaggi (quaternioni, ottetti, sedenioni) hanno la sorprendente caratteristica di perdere a una a una tre proprietà dei numeri reali e complessi: la commutatività per i quaternioni, l'associatività per gli ottetti, e infine la proprietà dell'algebra alternativa.
preso a giugno 2011 dal sito internet: wikipedia - Alla luce di quanto visto l'interesse storico del mio lavoro è quello di aver dato una risposta definitiva e positiva all'introduzione di numeri nella terza dimensione dello spazio e nelle dimensioni successive, con la sola rinuncia alla proprietà distributiva.
L'introduzione dei numeri completi è importante dal punto di vista matematico per varie ragioni, e qui ne accenno solo tre.
- La prima è data dalla possibilità di effettuare rotazioni nello spazio tridimensionale (ma anche n-dimensionale) in modo banale (cosa che non avviene impiegando i quaternioni).
- La seconda è data dalla possibilità di introdurre un nuovo tipo di algebra: l'algebra non distributiva.
- La terza è data dalla possibilità di estendere le equazioni matematiche e il teorema fondamentale dell'algebra nello spazio n dimensionale, nel quale il numero di soluzioni possibili è dato da g elevato alla (n-1) con g grado dell'equazione e n la dimensione spaziale considerata (purché n sia maggiore o uguale a 2).
